На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

   Решение

Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа a, b и c, что числа a + b + c и a · b · c являются квадратами некоторых натуральных чисел?

Решение

Например, a = 1, b = 3, c = 12: 1 + 3 + 12 = 4², 1 · 3 · 12 = 6².

Комментарий. Существует и множество других таких троек. Например, если взять произвольную пифагорову тройку u² + v² = w², то подходят числа a = u⁴, b = v² · u², c = w² · v².

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования