Задача 66189

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на k-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа k чётна, и единица, если сумма цифр числа k нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

Решение

Допустим, последовательность имеет период d и предпериод m. Возьмём такое n, что  10ⁿ > m + d.  Суммы цифр чисел 10ⁿ и 10ⁿ⁺¹ равны 1, а суммы цифр чисел  10ⁿ – d  и  10ⁿ⁺¹ – d  отличаются на 9, то есть имеют разную чётность. Противоречие.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4