ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66181
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли тогда пятиугольник правильный (то есть равносторонний и равноугольный)?


Решение

Обозначим углы двух соседних треугольников α, β, γ, α', γ' (см. рис). Прямые BC и AC не параллельны, поэтому  α' ≠ γ.  Но треугольники равны, значит,  α' = α,  γ' = γ.  Отсюда ясно, что расположение углов соседнего, а значит, и всех последующих треугольников определено однозначно. Обойдя по кругу, увидим, что  β = γ.  Поэтому все углы пятиугольника равны  180° – γ,  а все стороны равны, так как лежат в равных треугольниках против равных углов.


Ответ

Обязательно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .