ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66171
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написаны в порядке возрастания два натуральных числа x и y  (x ≠ y).  Петя записывает на бумажке x² (квадрат первого числа), а затем заменяет числа на доске числами x и  y – x,  записывая их в порядке возрастания. С новыми числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?


Решение 1

На каждом шаге Петя уменьшает произведение чисел на доске на число, которое он пишет на бумажке:  x(y – x) = xy – x².  Поскольку в конце произведение на доске будет равно 0, то сумма на бумажке равна исходному произведению xy.


Решение 2

Нарисуем прямоугольник со сторонами x и y. На первом шаге от этого прямоугольника отрезается квадрат со стороной x, а его площадь записывается на бумажке, и так далее. Когда процесс закончится, исходный прямоугольник разрежется на квадраты, площади которых будут записаны на бумажку. Их сумма равна площади исходного прямоугольника.


Ответ

xy.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 66176.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .