Задача 66160

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Решение

  Пусть, без ограничения общности,  a ≥ b ≥ c;  эти три положительных числа являются длинами сторон остроугольного треугольника тогда и только тогда, когда  a² < b² + c².  Поскольку коэффициенты P(x) неотрицательны,   P(a) ≥ P(b) ≥ P(c) > 0;  значит, надо проверить, что  
  Пусть  P(x) = p_nxⁿ + p_n–1x^n–1 + ... + p₀.  Обозначим  G(x) = P(x)x^–n.  Заметим, что  G(a) = p_n + p_n–1a^–1 + ... + p₀a^–n ≤ p_n + p_n–1b^–1 + ... + p₀b^–n = G(b),  аналогично  G(a) ≤ G(c).  Следовательно,  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5