ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66130
Тема:    [ Разрезания на параллелограммы ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри квадрата отмечена произвольная точка М. Можно ли этот квадрат разрезать не более чем на три прямоугольника, и сложить из них квадрат так, чтобы точка М стала его центром? (Разрезы не должны проходить через точку М.)


Решение

  Пусть точка М расположена внутри квадрата АВСD так, что её расстояния до сторон АВ и AD равны x и y соответственно. Без ограничения общности можно считать, что сторона квадрата равна 2, а  x, y ≤ 1.
  Если знаки неравенства строгие, то проведём два разреза параллельно сторонам CD и BC: на расстоянии  1 – x  от СD и на расстоянии  1 – y  от ВС (см. рис.). Переместив два прямоугольника так, как показано на рисунке, получим квадрат EFGH. При этом расстояние от точки М до каждой из его сторон равно 1, то есть М – центр этого квадрата.

  Если одно из неравенств оказывается равенством, то достаточно отрезать и переместить один прямоугольник, а если в обоих случаях стоит знак равенства, то М – уже центр квадрата АВСD, поэтому разрезать его не потребуется.


Ответ

Можно.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2016/17
класс
Класс 7
задача
Номер 7.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .