Задача 66116

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Дан треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника.
Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке.

Решение

Прямая равноудалена от концов отрезка в двух случаях: она параллельна ему или проходит через его середину. Если среди данных прямых нет параллельных, то не менее семи из них удовлетворяют второму условию, то есть проходят через одну из трёх середин сторон треугольника. Значит, через одну из этих точек проходит не менее трёх данных прямых.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	38
Дата	2016/17
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1