Задача 66073

Темы:    [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?

Решение

  Оценка. Предположим, что положительных чисел было не более 33. Отрицательные числа в произведении могут образовываться, только если один из сомножителей положительный, причём каждое положительное число может участвовать не более чем в двух таких произведениях. Следовательно, отрицательных чисел не более 66. Но тогда всего чисел не более 99. Противоречие.
  Пример для 34 положительных чисел. Расставим знаки следующим образом:

(сначала +, потом 33 группы + – –, считая против часовой стрелки). Тут одна пара соседних положительных чисел и 33 пары соседних отрицательных – они и дадут 34 положительных произведения; остальные произведения будут отрицательными.

Ответ

34 числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	80
Год	2017
класс
Класс	8
	1
задача
Номер	3