|
|
 |
Условие
На антарктической станции n полярников, все разного возраста. С вероятностью p между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.
Решение
Пусть 0 < p < 1. Дадим полярниками номера от 1 до n в соответствии с возрастом – чем старше, тем номер меньше. Полярник с номером k может получить советы от k – 1 полярников старше него. Поэтому он не получит ни одного совета, только если не дружит ни с кем из них. Вероятность этого (1 – p)k–1. Поэтому событие "полярник k вообще не получил советов" имеет индикатор Ik с математическим ожиданием EIk = (1 – p)k–1. Общее число полярников, не получивших ни одного совета, равно I1 + I2 + ... + In.
E(I1 + I2 + ... + In) = (1 – p)0 + (1 – p)1 + ... + (1 – p)n–1 = 1/p (1 – (1 – p)n).
При p = 0, очевидно, E = n, а при p = 1 E = 1.
Ответ
n при p = 0; 1/p (1 – (1 – p)n) при 0 < p < 1; 1 при p = 1.
Замечания
2 балла
