Задача 66019

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кузнецов А.

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.

Решение

  Так как четырёхугольник AICP вписанный, то  ∠DCI = ∠PCI = ∠BAI  (см. рис.). Центр I вписанной окружности четырёхугольника лежит на биссектрисах его углов, поэтому  ∠DAI = ∠BAI = ∠DCI = ∠BCI,  а значит,  ∠QAI = ∠BCI = 180° – ∠QCI.

  Следовательно, точка Q лежит на окружности ω, проходящей через точки A, I и C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2