|
|
 |
Условие
(sin x, sin y, sin z) – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность (cos x, cos y, cos z) также являться арифметической прогрессией?
Решение 1
Предположим, что (cos x, cos y, cos z) – арифметическая прогрессия. Тогда 2cos y = cos x + cos z. Из условия следует, что 2sin y = sin x + sin z. Возведём в квадрат каждое из этих равенств и почленно сложим. Получим:
4cos²y + 4sin²y = cos²x + 2cos x cos z + cos²z + sin²x + 2sin x sin z + sin²z ⇔ cos(x – z) = 1 ⇔ x – z = 2πn, n ∈ Z. Следовательно, sin x = sin(z + 2πn) = sin z, что противоречит условию.
Решение 2
На координатной плоскости рассмотрим точки А(cos x, sin x), В(cos y, sin y) и С(cos z, sin z).
Если каждая из последовательностей (cos x, cos y, cos z) и (sin x, sin y, sin z) является арифметической прогрессией, то Из условия следует, что эти векторы не нулевые, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой. С другой стороны, эти три точки лежат на единичной окружности. Одновременно это невозможно.
Ответ
Не может.
Замечания
7 баллов
