Задача 65968

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

График линейной функции  у = kх + k + 1,  где  k > 0,  пересекает оси координат в точках А и В.
Какова наименьшая возможная площадь треугольника АВО (О – начало координат)?

Решение

Абсцисса точки пересечения графика с осью OX равна  – (1 + ¹/_k).  Ордината точки пересечения с осью OY равна  k + 1.  Следовательно,
S_ABO = ½ OA·OB = ½ (k + 1)(1 + ¹/_k) = ½ (2 + k + ¹/_k).  Наименьшее значение выражения  k + ¹/_k  достигается при  k = 1,  следовательно, наименьшая возможная площадь треугольника АВО равна 2.

Ответ

2.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2016/17
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.1