|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где φ < 2π/3.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.
Решение
Первый способ. Построим на каждой стороне треугольника во внешнюю сторону дуги, вмещающие угол φ. Покажем, что на дугах BC, CA, AB найдутся такие точки X, Y, Z соответственно, что AZ = AY, BZ = BX, CX = CY. Пусть AC – наибольшая сторона треугольника, AB – наименьшая. Возьмём произвольную точку Z на дуге AB, найдём на дуге BC такую точку X, что BX = BZ, (Х определяется однозначно, так как AB ≤ BC) и построим точку Y, лежащую по разные стороны с В от прямой АС и такую, что AY = AZ, CY = CX. При Z = B имеем AY = AB, CY = CB. Следовательно,
∠AYC = ∠B < φ и Y лежит вне сегмента, построенного на АС (рис. слева).
Осталось доказать, что из треугольников ABC, ABZ, BCX, ACY можно склеить тетраэдр, то есть что хотя бы в одной из вершин A, B, C угол треугольника ABC меньше суммы примыкающих к той же вершине углов двух других треугольников (см. задачу 87108). Если это не так, то
∠A + ∠B + ∠C ≥ 3π – 3φ > 3π – 2π = π. Противоречие.
Второй способ. Для каждого из отрезков AB, BC и CA построим на плоскости множество точек, из которых эти отрезки видны под углом φ – получим шесть дуг. Для BC пусть это множество ωa, для AC – ωb и для AB – ωc. K, L, M – точки пересечения этих множеств (см. рис.). Рассмотрим пересечение трёх областей с границами из двух дуг (оно непусто, например, ему принадлежит точка Ферма-Торичелли, из которой все стороны треугольника видны под углом 2φ/3).
