ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65824
Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что  AD = BC.  Пусть M и N – середины сторон AB и CD. Докажите, что треугольник MNK тупоугольный.


Решение

  Пусть B и C ближе к точке K, чем A и D соответственно.

  Первый способ. Поскольку  ∠MBC + ∠NCB > 180° > ∠MAD + ∠NDA,  то  ∠MBC > ∠MAD  или  ∠NCB > ∠NDA.  Пусть  ∠NCB > ∠NDA.  В треугольниках NCB и NDA равны две пары сторон. Поэтому  NB > NA  (например, по теореме косинусов). По тем же соображениям, из сравнения треугольников NMB и NMA имеем  ∠NMB > ∠NMA.  Значит, угол NMB тупой.

  Второй способ.  ∠KCB + ∠KBC = ∠KDA + ∠KAD.  Заметим, однако, что AD и BC непараллельны. Поэтому либо  ∠KCB < ∠KDA,  либо
KBC < ∠KAD.  Будем считать, что выполнено первое неравенство.

  Рассмотрим параллелограмм BCDP. Ввиду выбранного неравенства углов точка P находится внутри треугольника AKD. Проведём в треугольнике BAP среднюю линию MQ, параллельную BP. Тогда MNDQ – параллелограмм (стороны MQ и ND параллельны и равны). Но основание AP равнобедренного треугольника ADP перпендикулярно медиане DQ, а значит, и NM. Следовательно, угол NMA острый, а NMK тупой.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 27
Дата 2005/2006
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .