Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Точка Лемуана ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Правильный шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Точки P и Q выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках A и D соответственно, так, что прямая PQ касается меньшей дуги EF этой окружности. Найдите угол между прямыми PB и QC.

Решение

Пусть T – точка касания PQ с окружностью, M, N – середины отрезков AT, DT. Так как PB и CQ – симедианы треугольников ABT, CDT соответственно (см. задачу 56983), то  ∠ABP = ∠MBT,  ∠DCQ = ∠NCT.  Поскольку MN – средняя линия треугольника ADT, то  MN = ^AD/₂ = BC  и  MN || BC  (см. рис.). Следовательно, BCNM – параллелограмм, и угол между PB и QC равен  ∠PBM + ∠NCQ = ∠ABM + ∠NCD – ∠MBT – ∠TCN = ½ (⌣AD – 2⌣FE) = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования