ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65794
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно AC/4.


Решение

Отрезок между центрами окружностей является диагональю параллелограмма, образованного серединными перпендикулярами к отрезкам AB, BD, BE и BC. Поэтому проекции этого отрезка на прямые AB и BC равны соответственно AD/2 и CE/2, то есть половинам проекций отрезка  AM = MC.  Следовательно, и сам этот отрезок равен  AM/2 = AC/4.

Замечания

Из решения следует также, что отрезок между центрами параллелен AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
тур
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .