|
|
 |
Условие
Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что x100 – y100 = 299(x – y) и x200 – y200 = 2199(x – y).
Решение
Для удобства сделаем замену x = 2a и y = 2b. Тогда a100 – b100 = a200 – b200 = a – b ≠0. Поделив второе выражение на первое, получаем
a100 + b100 = 1; значит, каждое из чисел a и b по модулю не превосходит 1.
Если b = 0, то a100 = a, откуда a = 1. Аналогично если a = 0, то b = 1.
Пусть теперь ab ≠ 0; тогда 0 < |a|, |b| < 1. Заметим, что значения функции f(x) = x100 – x = x(x99 – 1) положительны при x ∈ (–1, 0) и отрицательны при x ∈ (0, 1). Поскольку a100 – b100 = a – b, имеем f(a) = f(b), поэтому числа a и b имеют одинаковый знак.
С другой стороны,
Если a и b отрицательны, то правая часть в (*) также отрицательна, что невозможно. Если же a и b положительны, то все слагаемые в правой части (*) положительны, поэтому она больше чем a99 + b99; итак, a99 + b99 < 1. С другой стороны, поскольку 0 < |a|, |b| < 1, то a99 + b99 > a100 + b100 = 1. Противоречие.
Ответ
(2, 0) и (0, 2).
Замечания
После получения неравенства (*) решение можно завершить разными способами – например, с использованием неравенства
(a99 + a98b + a97b2 + ... + b99)100 > (a100 + b100)99, справедливого при ab > 0. Это неравенство можно доказать, раскрыв скобки и установив, что коэффициент при любом одночлене слева не меньше, чем коэффициент при таком же одночлене справа.
