|
|
 |
Условие
В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).
Найдите отношение сторон прямоугольника.
Решение
Пусть нам дан прямоугольник ABCD и ломаная AKLC.
Первый способ. Достроим прямоугольный равнобедренный треугольник KLC до квадрата KECL (рис. слева). Точки A, K и E лежат на одной прямой. Следовательно, прямоугольные треугольники AEC и ADC равны по гипотенузе и катету. Поэтому AD = AE = 2AK = 2AB.
Второй способ. Заметим, что AKCL – параллелограмм, следовательно, точка O пересечения его диагоналей делит каждую из диагоналей пополам. Пусть ON – перпендикуляр к стороне AD. Тогда ON – средняя линия треугольника ACD, следовательно, ON = ½ CD = ½ KL = OK. Значит, прямоугольные треугольники AKO и ANO равны по гипотенузе и катету, откуда AB = AK = AN = ½ AD.
Ответ
1 : 2.
Замечания
Отметим, что AC – биссектриса угла KAD.
