Задача 65617

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Числа а, b и с лежат в интервале  (0, 1).  Докажите, что  a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.

Решение

  Поскольку    (неравенство Коши), то достаточно доказать, что
a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + a + bc  ⇔  b + c + 2abc > ab + 2bc + ca  ⇔  (1 – a)(b + c – 2bc) > 0  ⇔  (1 – a)(b(1 – c) + c(1 – b)) > 0.
  Но последнее неравенство сразу следует из условия задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4.1