Задача 65594

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки E и F соответственно так, что  AE = 2BF.  На луче EF отмечена точка G так, что  GF = EF.  Докажите, что угол ACG – прямой.

Решение

  Отметим на стороне ВС точку D так, что  BF = FD  (см. рис.), тогда в четырёхугольнике BCDE диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, он – параллелограмм. Следовательно,  DG = BE.
  Кроме того,  BD = 2BF = AE,  значит,  DC = ВС – BD = AB – AE = BE = DG,  то есть треугольник CDG – равнобедренный.
  Пусть ∠А = ∠С = α,  тогда  ∠АВС = 180° – 2α.  Так как  ∠GDВ = ∠В = 180° – 2α  и угол GDВ – внешний для треугольника CDG, то
∠DCG = ∠DGC = 90° – α.
  Таким образом,  ∠ACG = ∠С + ∠DCG = α + 90° – α = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.2