Задача 65523

Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Существуют ли такие целые числа p и q, что при любых целых значениях x выражение  x² + px + q  кратно 3?

Решение

Предположим, что такие p и q существуют. Подставляя  x = 0, ±1,  получим, что числа q,  1 + p + q  и  1 – p + q  кратны 3. Следовательно,
q + (1 + p + q) + (1 – p + q) = 3q + 2  кратно 3. Противоречие.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2