ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65488
Темы:    [ Призма (прочее) ]
[ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются все призмы, в основании которых лежит выпуклый 2015-угольник.
Какое наибольшее количество рёбер такой призмы может пересечь плоскость, не проходящая через её вершины?


Решение

  Пусть плоскость пересекла N рёбер призмы, тогда в её сечении получился N-угольник. Значит, эта плоскость пересекла и ровно N граней призмы. Сечение выпуклого многогранника не может иметь больше сторон, чем количество граней этого многогранника. Значит,  N ≤ 2017.
  Существование сечения, пересекающего все грани призмы, проще показать на примере прямой призмы с меньшим количеством граней, например, для пятиугольной призмы (см. рис.). Таким образом, наибольшее значение N равно 2017.


Ответ

2017.

Замечания

У любой призмы, основание которой – выпуклый многоугольник, существует сечение, пересекающее все ее грани.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .