Задача 65471

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Дидин М.

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.

Решение

Обозначим точки как на рисунке. Треугольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углы C и D опираются на одну дугу, а угол P общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают подобные треугольники ANP и BKP. Значит, углы ANP и BKP равны. Аналогично подобие треугольников ACQ и DBQ влечёт равенство углов ANQ и DKQ. Следовательно,  ∠PKQ + ∠PNQ = ∠PKQ + ∠BKP + ∠DKQ = ∠BKD = 180°.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер	4