|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа k, для которых найдутся такие натуральные числа m и n, что m(m + k) = n(n + 1).
Решение
Случай k = 1 очевиден. Неравенства m(m + 1) < m(m + 2) < m(m + 3) < (m + 1)(m + 2) показывают, что при k = 2, 3 подобрать m и n не удастся: при n = m правая часть меньше, а при n = m + 1 – уже больше левой.
Все остальные числа k можно представить в виде k = 2l + 2 или k = 2l + 3, где l – натуральное число. В обоих случаях положим n = m + l. Тогда в первом случае n(n + 1) = n² + n = m² + 2lm + l² + m + l = m(m + k) + l² + l – m и нужное равенство достигается при m = l² + l.
Во втором случае аналогично n(n + 1) = m(m + k) + l² + l – 2m и можно взять m = ½ (l² + l).
Ответ
Все натуральные числа, кроме 2 и 3.
Замечания
1. Идеология. Запишем исходное уравнение в виде 4m² + 4mk + 1 = (2n + 1)². Левая часть меньше, чем (2m + k)², и должна быть квадратом нечётного числа, поэтому естественно попытаться представить её в виде (2m + k – 1)² при чётном k и в виде (2m + k – 2)² при нечётном k. Отсюда и получаются предъявленные решения.
2. 5 баллов.
