|
|
 |
Условие
В числовом наборе n чисел, причём одно из чисел равно 0, а другое равно 1.
а) Какова наименьшая возможная дисперсия такого набора чисел?
б) Каким для этого должен быть набор?
Решение
Обозначим числа ak, где k
= 1, ..., n, а среднее арифметическое всех чисел a.
Дисперсия D набора равна 1/n ((0 – a)² + (a2 – a)² + ... + (an–1 – a)² + (1 – a)²). Разобьём сумму в числителе на две группы – первое слагаемое объединим с последним, а во вторую группу войдут остальные слагаемые (если они есть): (a² + (1 – a)²) + ((a² – a)² + ... + (an–1 – a)²).
Если n = 2, то вторая группа отсутствует. Если n > 2, то, чтобы эта сумма была наименьшей возможной, положим a2 = a3 = ... = an–1 = a. Тогда
D = 1/n (a² + (1 – a)2).
Минимум квадратичной функции a² + (1 – a)² = 2a² – 2a + 1 = 2(a – ½)² + ½ равен ½. При этих условиях дисперсия равна 1/2n.
Ответ
а) 1/2n; б) все числа, кроме первого и последнего, равны ½.
