Задача 65303

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Модуль числа (прочее) ] [ Математическая статистика ] [ Средние величины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Дан числовой набор x₁, ..., x_n. Рассмотрим функцию  .
  а) Верно ли, что функция d(t) принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел x₁, ..., x_n?
  б) Сравните значения d(c) и d(m), где  ,  а m – медиана указанного набора.

Решение

  а) Рассмотрим набор  {2, 4, 7, 11}.  Построим функцию d(t) для этого набора. Сначала построим графики функций  y = |x – 2|,  y = |x – 4|,  y = |x – 7|,  y = |x – 11|.
  Теперь построим графики функции    (красный) и    (зелёный).

  Изобразим график функции  y = d(t)  оранжевым цветом. Это легко сделать, если в каждой точке взять середину вертикального отрезка, соединяющего зелёный и красный графики. Этот график имеет изломы во всех точках, где имеет изломы график функции   .  При этом функция  y = d(t),  очевидно, не может возрастать там, где убывает функция    и не может убывать там, где эта функция возрастает.

  Видно, что функция  y = d(t)  принимает наименьшее значение не в одной точке, а в каждой точке из отрезка  [6,5; 7].

  б) Из проведённого рассуждения следует, что функция  y = d(t) не может возрастать левее точки c и не может убывать правее этой точки. Значит,  d(c) ≤ d(t)  для любого t, в частности для  t = m.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2010
задача
Номер	11