|
|
 |
Условие
На каждой из четырёх карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?
Решение
Пусть на четырёх карточках написаны натуральные числа a ≤ b ≤ c ≤ d. Две из четырёх карточек можно выбрать шестью различными способами. Поскольку по условию пару карточек выбирают случайным образом, то вероятность выбрать конкретную пару равна ⅙. Так как по условию события {s < 9}, {s = 9}, {s > 9} (где s– сумма чисел на выбранных карточках) равновероятны, то вероятность каждого из них равна ⅓.
Значит, две из сумм a + b, a + c, a + d, b + c, b + d, c + d равны 9, две больше 9 и две меньше.
В силу неравенств a + b ≤ a + c ≤ a + d ≤ b + d ≤ c + d и a + c ≤ b + c ≤ b + d равны 9 суммы a + d и b + c, меньше 9 суммы a + b и a + c, а больше 9 – суммы b + d и c + d. В частности, a + c < a + d, значит, c < d. Аналогично a < b. Кроме того, b < c, так как сумма b + c нечётна.
Таким образом, пары {a, d} и {b, c} можно выбирать из пар {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5}, с учётом полученных неравенств. Отсюда ответ.
Ответ
(1, 2, 7, 8), (1, 3, 6, 8), (1, 4, 5, 8), (2, 3, 6, 7), (2, 4, 5, 7), (3, 4, 5, 6).
