Задача 65177

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность,  АС = а,  BD = b,  AB ⊥ CD.  Найдите радиус окружности.

Решение

Пусть R – радиус окружности,  ∠BAD = α,  тогда  ∠CDА = 90° – α  (см. рис.). По следствию из теоремы синусов  BD = 2R sin α,  AC = 2R cos α.  Следовательно,  BD² + AC² = 4R²,  значит,  R = .

Ответ

.

Замечания

Ответ не изменится, если концы хорд АВ и CD расположены на окружности в другом порядке, образуя четырёхугольник АСBD с перпендикулярными диагоналями.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3.2