|
|
 |
Условие
Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?
Решение
Пусть Незнайке удалось расположить числа по кругу так, как указано в условии. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Соединим стрелочками соседние числа, двигаясь по часовой стрелке. На каждой стрелочке запишем частное от деления числа, стоящего в её конце, на число, стоящее в её начале. По условию, это либо простое число, либо число, обратное простому. Заметим, что каждое из исходных чисел ровно один раз было в роли делимого и ровно один раз – в роли делителя. Значит, произведение всех чисел, записанных на стрелочках, равно 1. Следовательно, для каждого числа вида p среди них должна найтись соответствующее число вида 1/p. Но тогда целых чисел и правильных дробей поровну, что невозможно, так как их общее количество равно 2015.
Второй способ. Рассмотрим разложение каждого из записанных чисел на простые множители. Подсчитаем количество простых множителей у каждого числа (если среди простых множителей есть одинаковые, то их учитываем столько раз, с каким показателем степени они входят в разложение, а разложение числа 1, если оно оказалось среди записанных 2015, будем считать состоящим из нуля простых множителей). Так как отношение соседних чисел равно простому числу, то количества простых множителей в разложениях этих чисел отличаются ровно на 1. Поэтому у всех чисел, стоящих на нечётных местах, количество простых множителей имеет одну и ту же чётность. Но первое и 2015-е число стоят рядом, а потому количества их простых множителей должны отличаться на 1 и не могут иметь одну чётность. Противоречие.
Ответ
Знайка прав.
