Задача 65038

Темы:    [ Построения (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Ясинский В.

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

Решение

  Так как точки P, Q лежат на окружности с диаметром AB,  ∠BPQ = 180° – ∠A.  Значит,  ∠MPQ = ∠BPQ – ∠BPM = 180° – ∠A – ∠AQM = ∠AMQ.  Следовательно, окружность, проходящая через точки P, Q, M, касается прямой AB (см. рис.).

  Таким образом, наша задача сводится к задаче 52450.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	12