Задача 65019

Темы:    [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Точка Лемуана ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Решение

Так как углы ADB и BEC прямые, точки D и E лежат на окружности Ω с диаметром BG. При этом  ∠FDG = ∠ADO₁ = ∠DAC = ∠GED.  Следовательно, FD – касательная к Ω (см. рис.). То же верно для прямой FE. Значит, прямая FG – симедиана треугольника GED (см. задачу 56983). Поскольку треугольник GDE подобен треугольнику GCA, в треугольнике GCA прямая FG будет медианой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	18