Задача 65015

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Признаки подобия ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

Решение

Так как  ∠ABM = ∠BMC = ∠MCD,  то S_ABM : S_BMC = AB : MC  и  S_BMC : S_CMD = BM : CD.  Но треугольники ABM и MCD подобны, так что эти отношения равны и   (S_BMC)² = S_ABM·S_MCD.  По неравенству Коши  S_BMC ≤ ½ (S_ABM + S_MCD),  что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	14