Задача 64953

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Раскраски ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Из шахматной доски размером 8×8 вырезали квадрат размером 2×2 так, что оставшуюся доску удалось разрезать на прямоугольники размером 1×3. Определите, какой квадрат могли вырезать.

Решение

  Раскрасим шахматную доску в три цвета по диагоналям, начиная с левого нижнего угла доски (рис. а). Тогда при разрезании части доски на прямоугольники 1×3 в каждом прямоугольнике окажутся клетки всех трёх цветов. Следовательно, после вырезания квадрата клеток каждого из цветов на доске должно остаться поровну. До вырезания на доске 21 клетка цвета 1, 22 клетки цвета 2 и 21 клетка цвета 3. Значит, вырезали квадрат, в котором две клетки цвета 2 и по клетке цвета 1 и 3.

Рис. а		Рис. б

  Таких квадратов много. Однако мы можем раскрасить доску еще тремя аналогичными способами – начиная с правого нижнего угла доски, с правого верхнего или с левого верхнего (пример раскраски, начинающейся с правого нижнего угла, см. на рис. б). При каждом из этих способов раскраски количество клеток каждого цвета остается неизменным.

Рис. в		Рис. г

  Следовательно, могли быть вырезаны только те квадраты, которые при каждом способе раскраски содержат две клетки цвета 2 и по клетке цвета 1 и 3. Таких квадратов 9, см. рис. в.
  Покажем, как разрезать оставшуюся доску для каждого из девяти случаев. Заметим, что вырезанный квадрат находится в одном из угловых квадратов 5×5, см. рис. в. То есть достаточно показать, как разрезать на прямоугольники 1×3 квадрат 5×5 без одного из угловых квадратов 2×2 и оставшуюся часть доски. Это показано на рис. г.

Ответ

Любой из девяти квадратов, закрашенных на рисунке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	9
задача
Номер	9.6