ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64909
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC биссектрисы углов A и B обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол C.


Решение

Пусть AA1, BB1 – биссектрисы треугольника, AA2, BB2 – его высоты. По условию  AA1 : AA2 = BB1 : BB2  и, значит,  ∠A1AA2 = ∠B1BB2.  Но
A1AA2 = |∠B – ∠C|,  ∠B1BB2 = |∠A – ∠C|.  Так как треугольник неравнобедренный, равенство  ∠A – ∠C = ∠B – ∠C  невозможно. Следовательно,
C = ½ (∠A + ∠B) = 60°.


Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
тур
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .