В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

   Решение

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

   Решение

Темы:    [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:   .

Решение

Запишем систему в виде   .   Заметим, что функция  f(t) = sin t + t  строго возрастает. Действительно,  f '(t) = cost + 1 ≥ 0;  кроме того, производная принимает значение 0 при  t = π + 2kπ,  k ∈ Z, то есть промежутков, на которых  f '(t) = 0,  не существует. Следовательно, каждое свое значение функция  f(t) принимает только при одном значении переменной. Значит,  x = y = z,  x – y + z  = π,  откуда  x = y = z = π.

Ответ

(π, π, π).

Источники и прецеденты использования