Задача 64870

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Румянцев В.

Перпендикуляр, восстановленный в вершине C параллелограмма ABCD к прямой CD, пересекает в точке F перпендикуляр, опущенный из вершины A на диагональ BD, а перпендикуляр, восстановленный из точки B к прямой AB, пересекает в точке E серединный перпендикуляр к отрезку AC. В каком отношении отрезок EF делится стороной BC?

Решение

Пусть точка K симметрична A относительно B. Тогда E – центр описанной окружности треугольника ACK. С другой стороны, так как BKCD – параллелограмм, то  AF ⊥ CK,  то есть F – ортоцентр треугольника ACK (см. рис.). Следовательно, медиана CB делит EF в отношении 1 : 2 (см. задачу 55595).

Ответ

1 : 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	7