ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64835
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске был изображен пятиугольник, вписанный в окружность. Маша измерила его углы и у нее получилось, что они равны 80°, 90°, 100°, 130° и 140° (именно в таком порядке). Не ошиблась ли Маша?


Решение

  Пусть АВСDE – данный пятиугольник, в котором углы А, В, С, D и Е соответственно равны 80°, 90°, 100°, 130° и 140° (см. рис.). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Проведём диагональ AD, тогда четырёхугольник АВСD также вписанный, поэтому ∠BAD = 180° – ∠BСD = 80°.  Таким образом,
BAD = ∠BAE, что невозможно.

  Второй способ. Продлим отрезок АЕ до пересечения с прямой CD в точке F. В четырёхугольнике АВСF  ∠BAF + ∠BСD = 180°,  значит, этот четырёхугольник – вписанный, то есть точка F лежит на той же окружности, что невозможно.


Ответ

Ошиблась.

Замечания

Существуют и другие решения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Дата 2005
Номер 28
задача
Номер 6
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .