ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64735
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)


Решение

Если одна из описанных окружностей лежит внутри другой, то утверждение задачи выполнено, а если каждая из окружностей лежит вне другой, то треугольники не могут пересекаться. Поэтому будем считать, что описанные окружности треугольников пересекаются в точках P и Q (возможно, совпадающих) и предположим, что утверждение задачи не выполняется. Тогда вершины каждого из треугольников лежат на дуге PQ соответствующей окружности, расположенной вне другой окружности. Но эти дуги лежат по разные стороны от прямой PQ. Значит, сами треугольники тоже лежат по разные стороны от этой прямой и не могут пересекаться. (В случае совпадения P и Q, в качестве прямой PQ рассматривается общая касательная к окружностям.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2010
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .