Задача 64715

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Теорема косинусов ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Дано n палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n?

Решение

  Из трёх палочек длин  a ≤ b ≤ c можно составить треугольник, если  a + b > c.  По теореме косинусов этот треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда   a² + b² < c².  Пусть  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n  – длины палочек.
  Оценка. Предположим, что  n ≥ 5.  Тогда     С другой стороны,  a₅ < a₁ + a₂,  откуда  .  Сравнив с предыдущим, получаем  ,  что невозможно.
  Пример для  n = 4  можно построить следующим образом. Возьмём  a₁ = a₂ = 1,  выберем a₃ чуть больше чем  ,  а a₄ чуть больше чем  .  Например, подходят значения  1; 1; 1,5; 1,9.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	9
задача
Номер	3