ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64650
Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Задачи на движение ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пешеход Петя выходит из вершины A, идёт по стороне AB и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины A одновременно с Петей, идёт по диагонали AC и одновременно с Петей приходит в C. Пешеход Толя выходит из вершины B в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали BD и одновременно с Петей приходит в D. Скорости пешеходов постоянны.
Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей O одновременно?


Решение 1

Пусть Петя приходит в вершину B в то же время, когда Вася проходит точку X диагонали AC, а в вершину C, когда Толя проходит точку Y диагонали BD. Тогда БикЮ AB : BC = AX : XC,  BC : CD = BY : YD.  Значит, BX и CY – биссектрисы углов B и C четырёхугольника. Если Вася с Толей встретились в точке O, то  XO : OC = BO : OY,  откуда следует параллельность прямых BX и CY. Но тогда сумма углов B и C четырёхугольника равна
(∠XBC + ∠YCB) = 2·180° = 360°.  Противоречие.


Решение 2

Рассмотрев путь от A до C (от B до D), получим, что скорость Пети больше скорости Васи (Толи). Предположим, что Вася с Толей встретились в точке O. Петя в этот момент был в некоторой точке Z стороны BC. Из неравенств скоростей следует, что  BO < BZ  и  OC < ZC.  Но тогда
BO + OC < BZ + ZC = BC,  что противоречит неравенству треугольника.


Ответ

Не могли.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .