|
|
 |
Условие
На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)
Решение
Пусть P – число указанного в ответе вида, и дробь несократима (то есть a нечётно). Тогда и число 1 – P имеет тот же вид (причём с тем же знаменателем). Назовём наименьшее из чисел P и 1 – P. Если кузнечик прыгнет и не попадёт в ловушку, то он останется между ловушками, и расстояние до одной из ловушек удвоится. В результате знаменатель координаты кузнечика уменьшится вдвое. После k прыжков координата станет целой, что означает попадание в ловушку.
Пусть P – не двоично-рациональное число. Объявим ловушками все двоично-рациональные числа. Покажем, что если кузнечик не в ловушке, он всегда может прыгнуть не в ловушку. Заметим, что полусумма ловушек – снова ловушка. Пусть названо число d. Так как P = ½ ((P + d) + (P – d)), и P – не ловушка, то хотя бы одна из точек P + d и P – d – тоже не ловушка. Туда и прыгнем.
Пусть P – двоично-рациональное число, не лежащее в отрезке [0, 1]. Тогда кузнечик каждым прыжком может удаляться от этого отрезка.
Ответ
При P = a·2–k, где a и k – натуральные числа, 0 < a < 2k.
Замечания
6 баллов.
