ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64564
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанный угол (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF.
Найдите длину ВЕ.


Решение 1

Продолжим отрезок DF до пересечения с прямой АВ в точке K (см. рис.). Прямоугольные треугольники KBF и DCF равны (по катету и острому углу), значит,  KB = DC.  Таким образом, EB – медиана прямоугольного треугольника АЕK, проведенная к гипотенузе, поэтому  ВЕ = ½ AK = 1.


Решение 2

Так как  ∠АBF = ∠AEF = 90°,  то около четырёхугольника АВFE можно описать окружность, значит,  ∠ВАF = ∠СFD (см. рис.).

Из равенства треугольников АВF и DCF следует, что  ∠СFD = ∠ВFА.  В свою очередь,  ∠ВFА = ∠ВЕА.  Таким образом,  ∠ВАF = ∠ВEА,  поэтому треугольник АВЕ – равнобедренный:  ВE = АВ = 1.


Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .