|
|
 |
Условие
Двадцать пять монет раскладывают по кучкам следующим образом. Сначала их произвольно разбивают на две группы. Затем любую из имеющихся групп снова разбивают на две группы, и так далее до тех пор, пока каждая группа не будет состоять из одной монеты. При каждом разбиении какой-либо группы на две записывается произведение количеств монет в двух получившихся группах. Чему может быть равна сумма всех записанных чисел?
Решение
Первый способ. Изобразим монеты точками и соединим каждую пару точек отрезком. Получим 25(25 – 1) : 2 = 300 отрезков. При каждом разбиении одной группы монет на две будем стирать все отрезки, соединяющие точки, соответствующие монетам, оказавшимся в разных группах. Пусть на некотором шаге мы разбили монеты одной из уже имевшихся групп на две группы по x и y монет. Тогда мы стираем xy отрезков. Это же число мы записываем. Таким образом, сумма записанных чисел – это количество всех стёртых отрезков. Так как изначально было 300 отрезков, а в итоге все отрезки стёрты, то общее количество стёртых отрезков равно 300.
Второй способ. Рассмотрим переменную величину S, равную в каждый момент половине суммы квадратов количеств монет в кучках. Изначально
S = 25² : 2 = 312,5, а в самом конце S = (1² + ... + 1²) : 2 = 12,5. Если кучка, в которой было x + y монет разбивается на две кучки по x и y монет, то S уменьшается на ½ (x + y)² – ½ (x² + y²). Таким образом, при каждом разбиении величина S уменьшается на очередное записываемое число. Следовательно, сумма всех записанных чисел равна общему уменьшению величины S, которое равно 312,5 – 12,5 = 300.
Ответ
300.
