|
|
 |
Условие
На доске были записаны числа 3, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а результат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске оказались три числа, наименьшее из которых было 2013. Каковы были два остальных числа?
Решение
Заметим, что 9 – 3 = 6 и 15 – 9 = 6. Покажем, что в любой момент одно из чисел на доске будет на 6 меньше второго и на 6 больше третьего.
Действительно, пусть это свойство выполнено, и на доске записаны числа x – 6, x и x + 6. Если сложить два крайних числа и вычесть среднее, то тройка чисел не изменится. Если сложить первых два числа и вычесть третье, то получится тройка x – 6, x и x – 12, а если сложить два последних числа и вычесть первое, то получится тройка x + 12, x и x + 6. Во всех случаях указанное свойство сохраняется, поэтому оно будет выполняться после каждого шага. Значит, искомые числа: 2013 + 6 = 2019 и 2019 + 6 = 2025.
Ответ
2019 и 2025.
