ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64503
Тема:    [ Взвешивания ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Шейх разложил свои сокровища по девяти мешкам: в первый мешок 1 кг, во второй – 2 кг, в третий – 3 кг, и так далее, в девятый – 9 кг. Коварный визирь украл часть сокровищ из одного мешка. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь шейху определить, из какого именно?


Решение 1

  Первое взвешивание. Разделим мешки на группы по три мешка в каждой:  1 + 3 + 7,  2 + 4 + 5  и  6 + 8 + 9.  Сравним две первые группы. Если весы покажут равенство, то кража была произведена из мешка третьей группы; если какая-то из взвешиваемых групп перевесит, то кража – из другой взвешиваемой группы.
  Второе взвешивание. Рассмотрим найденную группу из трёх мешков, из которой была совершена кража. Кладём на весы по одному мешку из этой группы и на одну из чаш добавляем мешок из другой группы (из которой кража не совершалась) с известной массой с тем, чтобы уравновесить весы (этот мешок играет роль гири).
  Например, для первой группы на весы можно положить мешки  1 + (2)  и 3; для второй –  2 + (3)  и 5; для третьей –  6 + (2)  и 8 (в скобках указаны "мешки-гири"). Если весы уравновесились, то кража совершена из оставшегося мешка, а если нет, то из лежащего на более лёгкой чаше.


Решение 2

  Расположим массы мешков в виде таблицы (см. рис.).

  Разделим мешки на три группы по три мешка так, чтобы в каждую группу вошло по одному мешку из каждой строки и по одному мешку из каждого столбца. При этом суммарная масса мешков в каждой тройке будет равна 15:  1 + 5 + 9,  2 + 6 + 7  и  3 + 4 + 8.

  Первое взвешивание. Взвесим две тройки мешков. Если какая-то из них перевесит, то кража была произведена из другой взвешиваемой тройки. Если же весы покажут равенство, то сокровища похищены из мешка третьей тройки.

  Второе взвешивание. Рассмотрим ту группу из трёх мешков, из которой была совершена кража. На две чаши весов кладём по мешку из этой тройки: на одну – из первой строки таблицы, на другую – из второй. К первому мешку добавляем тот, что находится в таблице в клетке под вторым, а ко второму – тот, что находится в таблице в клетке под первым. Например, если ограблена тройка  2 + 6 + 7,  то на одну чашу весов кладём  2 + 9,  а на другую –  6 + 5.  Заметим, что добавленные мешки не ограблены (два мешка из одного столбца не могут одновременно находиться в "подозрительной" тройке). Без воровства весы находились бы в равновесии (так как один из мешков, лежащих на одной чаше весов, на 3 кг легче своего "партнера" на другой чаше, зато другой – на 3 кг тяжелее). Поэтому если весы в равновесии, то ограблен третий мешок из тройки (в нашем примере – это 7 кг), а если одна из чаш перевешивает, то ограблен мешок из "подозрительной" тройки, лежащий на другой, более лёгкой чаше весов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 6
задача
Номер 6.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .