|
|
 |
Условие
Из пяти монет – две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая – на столько же тяжелее настоящей.
Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.
Решение 1
Отложим одну монету, а на каждую чашу весов положим по две монеты. Возможны два случая.
1) Весы в равновесии. Так как четырёх настоящих монет нет, то на одной чаше лежат обе фальшивые монеты. Следующим взвешиванием достаточно сравнить веса монет с одной чаши: если весы в равновесии, то эти монеты настоящие, и фальшивые монеты в другой чаше; если весы не в равновесии, то фальшивые монеты – на весах.
2) Одна из чаш перевесила. Тогда на весах находится или только лёгкая фальшивая монета в более лёгкой чаше или только тяжёлая фальшивая монета в более тяжёлой чаше, или обе монеты находятся в разных чашах. Вторым взвешиванием сравним веса монет в лёгкой чаше: если весы не в равновесии, то более лёгкая монета – фальшивая. Если весы в равновесии, то отложенная монета – фальшивая (и она лёгкая). Аналогично, третьим взвешиванием сравним веса монет из тяжёлой чаши: тогда, либо более тяжёлая монета – фальшивая, либо, если весы в равновесии, отложенная монета фальшивая (и она тяжёлая).
Решение 2
Первый раз положим на чаши весов первую и вторую монеты, а второй раз – третью и четвёртую. Возможны только два случая.
1) Один раз весы были в равновесии (пусть при первом взвешивании; при этом на чашах настоящие монеты), а другой раз – нет.
Возьмем настоящую монету из первого взвешивания и сравним её с той, что оставалась на столе. Если их веса равны, то последняя монета настоящая, а фальшивые – те, что участвовали во втором взвешивании. Иначе, монета со стола – фальшивая, и мы знаем, легче она настоящей или тяжелее, а потому знаем, лёгкая или тяжёлая фальшивая монета участвовала во втором взвешивании.
2) Оба раза весы были не в равновесии. Тогда на весах каждый раз была одна фальшивая монета, а на столе осталась настоящая. Взвесим её с лёгкой монетой из первого взвешивания. Если веса равны, то в первом взвешивании фальшивой была более тяжёлая, а во втором – более лёгкая. Если же более лёгкая монета из первого взвешивания оказалась легче, то она фальшивая, а из второго взвешивания фальшивая – более тяжёлая.
Замечания
Отметим, что решение 2 не использует то, что обе фальшивых монеты весят столько же, сколько две настоящих.
