|
|
 |
Условие
На рисунке изображена снежинка, симметричная относительно поворота вокруг точки O на 60° (при этом повороте каждый луч снежинки переходит в другой луч) и отражения относительно прямой OX. Найдите отношение длин отрезков OX : XY. (Пунктирными линиями показаны точки, лежащие на одной прямой.)
Решение
Вместо отношения OX : XY будем искать равное ему отношение OX' : X'Y' (см. рис.).
В треугольнике X'L'Y' угол X'L'Y' равен углу OX'M как вертикальный. А углы X'L'Y' и X'OM равны, так как параллельны прямые Y'L' и OM.
Следовательно, X'MO и X'LY' – прямоугольные треугольники с углом 30°.
Первый способ. Осталось найти отношение гипотенуз этих треугольников – или, что то же самое, отношение гипотенуз равных им треугольников X'Y'R' и X'MX.
Но XX'R' – тоже прямоугольный треугольник с углом 30°. Действительно, ∠XX'R' = 180° – ∠Y'X'R' – ∠XX'O = 90°, а ∠XX'R' = 90° – ∠OXX' = 30°.Таким образом, треугольники X'MX, XX'R' и X'R'Y' подобны, и
Второй способ. Пусть C – точка пересечения прямых Y'Y'' и LR'''.
Ответ
3 : 2.
Замечания
Такую снежинку легко нарисовать на клетчатой бумаге – только клеточки должны быть не квадратами, а правильными шестиугольниками. Это сделано на рисунке ниже. На нем видно, что длина отрезка OX равна 3 сторонам клетки, а длина отрезка XY – 2 сторонам клетки.
