Задача 64433

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Средние величины ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

Решение

Суммарный возраст "старшей" группы не меньше чем  ²⁰/₃₃·430 = 260,6...  лет.

Замечания

Из решения видно, что целочисленность возрастов несущественна. Но если её учитывать, то можно утверждать, что суммарный возраст старшей группы не меньше 261 года. Эта оценка точна: если одному ученику 14 лет, а остальным – по 13, то сумма возрастов двадцати "старших" равна 261.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5.3