ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64395
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Отношение площадей треугольников с общим углом ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что SAOB + SCOD ≤ 2(SAOD + SBOC).


Решение

  Достаточно доказать, что одно из отношений  AO/OC  и  BO/OD  не меньше ½ и не больше 2. Действительно, если, скажем, отношение  AO/OC  такое, то
SA0B ≤ 2SBOC  и  SCOD ≤ 2SAOD,  откуда и следует требуемое.
  Без ограничения общности можно считать, что  AO ≤ OC,  BO ≤ OD.  Предположим противное: пусть  AO ≤ ½ OCBO ≤ ½ OD.  Отложим на отрезках OC, OD соответственно отрезки  OA' = 2OA,  OB' = 2OB  (см. рис.). Тогда  A'B' = 2AB ≥ 2,  и точки A', B' лежат на сторонах треугольника COD (не совпадая с вершинами). Значит, отрезок A'B' меньше одной из сторон этого треугольника (см. задачу 55155). Оценим стороны треугольника COD.
  По условию  CD ≤ 2.  Поскольку точка O лежит между B и D, то отрезок CO не больше одной из сторон CB и CD, следовательно,  CD ≤ 2  и аналогично
DO ≤ 2.  Отрезок A'B' должен быть меньше одной из этих сторон, но  A'B' ≥ 2.  Противоречие.

Замечания

  Равенство достигается, например, в следующем (вырожденном) четырёхугольнике. Рассмотрим треугольник ABC, в котором  1 ≤ AB,  BC ≤ 2  и  AC = 3,  и выберем точку D на отрезке AC так, что  CD = 1,  DA = 2.
  Из решения нетрудно видеть, что для невырожденных четырёхугольников неравенство строгое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .