Задача 64389

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Высота AA', медиана BB' и биссектриса CC' треугольника ABC пересекаются в точке K. Известно, что  A'K = B'K.
Докажите, что и отрезок C'K имеет ту же длину.

Решение

  Так как точка K лежит на биссектрисе угла C, расстояние от нее до прямой AC равно расстоянию до BC, то есть KA' (см. рис.).

  Поскольку  KA' = KB',  то  KB' ⊥ AC. Значит, медиана BB' является также высотой и  AB = BC.  Тогда BK и CK – биссектрисы треугольника, следовательно, AK – тоже биссектриса, а поскольку AK – высота, то  AB = AC.  Таким образом, треугольник ABC – равносторонний, и  A'K = B'K = C'K.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5